正如已经看到的,由于周期性复指数函数是线性时不变系统的特征函数,因此在研究连续时间线性时不变系统时,傅里叶分析方法是很有价值的。在木题中,希望证实下列论述:尽管某些线性时不变系统可能有另外的特征函数,但复指数函数是唯一能够成为一切线性时不变系统特征函数的信号。

(a)单位冲激响应为h(t)= δ(t)的线性时不变系统的特征函数是什么?其相应的特征值是什么? (b)考虑单位冲激响应h(t)= δ(t—T)的线性时不变系统,试找到一个信号,它不具有e3t的形式,但却是该系统的特征函数,且特征值为1。与此类似,找出两个特征函数,它们的特征值分别是1/2和2,但都不是复指数函数。「提示:能够找到满是这些要求的冲激中。 (c) 考虑一个稳定线性时不变系统, 其单位冲激响应h(t) 是实偶函数, 证明:cosωt和s inωt都是该系统的特征函数。 (d)考虑单位冲激响应h(t)=u(t)的线性时不变系统,假如Φ(t)是该系统的特征函数,其特征值为λ。找出Φ(t)必须满是的微分方程,并解出这个微分方程。此结果连同(a)至(c)的结果能证明本题最初论述的正确性。

时间:2023-09-22 15:06:03

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