证明:（1)（a×b)²+（a·b)2=a²b²;（2)（a+b)·[（b+c)×（c+a)]=2a·（b×c).

设f（x)在[a,b]上连续，在（a,b)内有二阶连续导数，1、写出f（x)在（a+b)/2处的一阶泰勒公式；2、证明至少存在一点ζ∈（a,b)，使得：f（b)-2f（a+b/2)+f（a)=（b-a)²f"（ζ)

设方阵A满足A²-3A+2E=0，证明A的特征值只能取1或2。

设a，b为常矢，r=xi+yj+zk，r=|r|，证明（1)∇（r•a)=a;（2)∇•（ra)=（r•a)/r;（3)∇x（ra)=（rxa)/r;（4)∇x[（r•a)b]=axb;（5)∇（axr|²)=2[（a•a)r-（a•r)a]。

设f：A→B,若存在R：B→A,伙得f·g=1,且β°f=1A,试证明: f是双射且f^-1=g。

证明:若函数f（x)在[a,b]可积,则函数[f（x)]²在[a,b]也可积.

设A.B是同阶可逆方阵,且A^-1+B^-1是可逆矩阵,证明A+B是可逆矩阵,并求（A+B)^-1.

证明对合矩阵A（A²=I)的特征值只能是1或-1

设A,B为同阶矩阵，且满足A=1/2（B+E)。求证:A²=A的充分必要条件是B²=A.

设A、B均为n阶方阵，且A=（B+E)/2，证明：A²=A当且仅当B²=E。

如果A=（a,b)和B=（c)，试确定下列集合： （a)A×（0,1)×B （b)B²×A （e)（A×B)²

设有n阶矩阵A与B,证明（A+B)（A-B)=A²-B²的充要条件是AB=BA.

证明下列不等式：（1)larctana-arctanbI≤|a–b|;（2)当x＞1时，e^x＞e.x

证明:如果A是一个实反称矩阵，则B=（E-A)（E+A)^-1是一个正交矩阵

设A可逆,且A~B,证明:B也可逆，且A^-1~B^-1

证明:（1)（a×b)²≤a²·b²,并说明在什么情况下等号成立;（2)如果a+b+c=0,那么a×b=b×c=c×a,并说明它的几何意义;（3)如果a×b=c×d,a×c=b×d,那么a-d与b-c共线;（4)如果a=p×n,b=q×n,c=r×n,那么a,b,c共面.

改T为Hilbert空间X上正常算子,T=A+iB为T的笛卡尔分解,证明:（1)||T||²=||A²+B²||;（2)||T²||=||T||².

设ƒ（χ)在[a,b]上连续,在（a,b)内可导,证明至少存在一点ξ∈（a,b),使2ξ[ƒ（a)-ƒ（b)]=（a²-b²)ƒ'（ξ).

（1)a,b不全为零且互素,说出gcd（a²+b²,a+b),并说明理由.（2)证明:如果k是正整数,那么3k+2和5k+3互素.

已知|a|=1,|b|=5,a·b=3,试求:（1)|a×b|;（2)[（a+b)×（a-b)]²;（3)[（a-2b)×（b-2a)]².

已知n阶方阵A、B可交换，即AB-BA，证明（1)（A+B)²=A²+2AB+B²;（2)（A+B)（A-B)=A²-B²;（3)（AB)-A²B²（A为正整数)。

设X为取值于（a，b)的连续型随机变量。证明：（1)a≤E（X)≤b；（2)D（X)≤（b-a)²/4。

己知其中B是r×r可逆矩阵.C是s×s可逆矩阵。证明A可逆.并求A^-1

若环R适合:a∈R,a²=a,证明:（1)a∈R,a+a=0 （2)R是交换环

设A，B均为n阶方阵，且满足A²=A，B²=B，（A+B)²=A+B。证明AB=O。