求下列函数在指定点的高阶导数:(1)f(x)=3x<sup>3</sup>+4x<sup>2</sup>-5x-9,求f"(1),f'''(1),f<sup>(4)</sup>(1);(2)f(x)=arctanx,求f"(0),f"(1),f"(-1)。
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内有二阶连续导数,1、写出f(x)在(a+b)/2处的一阶泰勒公式;2、证明至少存在一点ζ∈(a,b),使得:f(b)-2f(a+b/2)+f(a)=(b-a)<sup>2</sup>f"(ζ)
证明:σ(x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>)=(x<sub>2</sub>,-x<sub>1</sub>),τ(x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>)=(x<sub>1</sub>,-x<sub>2</sub>)是数域F<sup>2</sup>的两个线性变换,并求σ+τ,στ,τσ。
设A为正规空间X的一个闭集.证明:对于任何一个连续映射f:A→[0,1]<sup>n</sup>,有一个连续映射g:X→[0,1]<sup>n</sup>是映射f的扩张.
设f(x)可导,求下列函数的导数(1)y=f(x<sup>2</sup>);(2)y=f(sin<sup>2</sup>x)+f(cos<sup>2</sup>x).
证明:当x>0时,有(x<sup>2</sup>-1)lnx≥(x-1)<sup>2</sup>。
证明:若函数f(x)在[a,b]可积,则函数[f(x)]<sup>2</sup>在[a,b]也可积.
设f(x)=x<sup>2</sup>-3x+2,求f(0),f(1),f(-2),f(-x),f(1/x)。
函数f(x十1)=x<sup>2</sup>+2x-3,则f(x)=()。
若f(x)dx=2<sup>x</sup>+x+1+C,则f(x)=()。
设f为可微函数,求下列函数的偏导数:(1)u=f(x<sup>2</sup>-y<sup>2</sup>,e<sup>xy</sup>);(2)u=f(x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>+z<sup>2</sup>);(3)u=f(x,xy,xyz)。
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1/3,证明:存在ξ∈(0,1/2),η∈(1/2,1),使得f'(ξ)+f'(η)=ξ<sup>2</sup>+η<sup>2</sup>。
设A是一个6阶矩阵,具有特征多项式f(x)=(x+2)<sup>2</sup>(x-1)<sup>4</sup>和最小多项式p(x)=(x+2)(x-1)<sup>3</sup>。求出A的若尔当标准形式。如果p(x)=(x+2)(x-1)<sup>2</sup>,A的若尔当标准形式有几种可能的形式?
证明:如果(x-1)|f(x<sup>n</sup>),那么(x<sup>n</sup>-1)|f(x<sup>n</sup>)。
证明:若函数y=f(x)在[a,b]严格增加,且连续则反丽数x=f<sup>-1</sup>(y)在点a=f(a)右连续,即
证明:若f(x),g(x)在任何区间[a,A]可积,又设f<sup>2</sup>(x),g<sup>2</sup>(x)在[a,+∞)积分收敛,那末[f(x)+g(x)]<sup>2</sup>和|f(x)·g(x)|在[a,+∞)上皆可积.
已知函数f(x+1)=x<sup>2</sup>+2x+9,则f(x)=-x<sup>2</sup>+8。()
函数f(x)=1/3e<sup>x-2</sup>在(-∞,+∞)上是()。
设f:N→N×N,其中N为自然数集,f(x)=<x,x<sup>2</sup>>。(1)求f({1,2,3})。(2)讨论f是否为单射和满射的,如果不是说明理由。
证明1/2<sup>p-1</sup>≤x<sup>p</sup>+(1-x)<sup>p</sup>≤1(0≤x≤1,p>1).
证明:当x>0时,e<sup>x</sup>>1+x+1/2 x<sup>2</sup>
求f(z)被g(x)除所得的商和余式:(i)f(x)=x<sup>4</sup>-4x<sup>3</sup>-1,g(x)=x<sup>2</sup>-3x-1;(ii)f(x)=x<sup>5</sup>-x<sup>3</sup>+3x<sup>2</sup>-1,g(x)=x<sup>3</sup>-3x+2。
证明:K[x]中不可约多项式p(x)是f(x)∈K[x]的k(k≥1)重因式的充分必要条件是p(x)是f(x),f'(x),...,f<sup>(k-1)</sup>(x)的因式,但不是f<sup>(k)</sup>(x)的因式
设f(x)=x<sup>3</sup>+bx<sup>2</sup>+cx+d是一个整系数多项式.证明:如果bd+cd为奇数,则f(x)在有理数域上不可约