设X是可分距离空间,为X的一个开覆盖，即是一族开集,使得对每个x∈X,有中开集0,使x∈O,证明必可从中选出可数个集组成X中一个覆盖.

一个空间点到X,Y,Z3个坐标轴的距离相等，侧这个点到3个投影面的距离等距

设A为正规空间X的一个闭集.证明:对于任何一个连续映射f:A→[0,1]ⁿ,有一个连续映射g:X→[0,1]ⁿ是映射f的扩张.

证明拓扑空间X为紧致空间当且仅当X的每一开覆盖都有一个有限（可数)开覆盖的加细.

全空间X是一个度量空间。 全空间和空集是开集吗 任意多个开集的并是\ 任意多个闭集的交是\

设X和Y都是可数紧致空间.证明:积空间XxY也是一个可数紧致空间.

设谓词P（x):x是奇数;Q（x):x是偶数:谓词公式在个体域（)中是可满足的.A.自然数B.整数C.实数D.以

试将定理5.2.1中的实数空间R改为任何一个度量空间,然后证明相应的结论.命题:设D为拓扑空间x的稠密子集,（Y,p)为度量空间f.g:X→Y为连续映射,如果f|D =g|D,则f=g.

设函数g:IxI→I定义为g（x,y)=x*y=x+y-xy试证明二元运算+是可交换的和可结合的，求出么元，并指出每个元素的逆元。

设谓词P（x）:x是奇数，Q（x）:x是偶数，谓词公式 （x）（P（x） Q（x）） 在下面哪个论域中是可满足的（）

若拓扑空间X的子集E为X的开集G的连通分支,证明b（E)⊂ b（G).

如果Y是拓扑空间X的一个开（闭)子集,则Y作为X的子空间时特别称为X的开（闭)子空间.证明:（1)如果Y是拓扑空间X的开子空间,则A⊂Y是Y中的一个开集当且仅当A是X的一个开集;（2)如果Y是拓扑空间X的闭子空间,则A⊂Y是Y中的一个闭集当且仅当A是X的一个闭集.

设V₁,V₂为欧几里得空间V的两个子空间,x,y∈V.线性流形L₁=x+V₁,L₂=y+V₂之间的距离定义为

设X和Y是两个同胚的拓扑空间.证明:如果X是可度量化的,则Y也是可度量化的.

设＜ A,★,*＞是一个关于运算★和*分别具有么元e₁和e₂的代数系统,并且运算★和*彼此之间是可分配的，证明:对于A中所有的x,式x★x=x*x=x成立。

设X为平庸拓扑空间，A为X的子集，若A≠θ，A≠X，则A0=（）。

设X为拓扑空间，下面正确的命题是（）。

设X为拓扑空间，{ＸK}是X中的序列，则下面正确的命题是（）。

设X，Y为拓扑空间，f：X→Y为映射，则下面一个不与其他命题等价的命题是（）。

证明：设X是Hausdorff空间，A，B是X的两个不相交的紧致子集，则A，B分别有开邻域U，V使得U与V不相交。

设T是从距离空间X到距离空间Y的连续映射，A是X中的列紧集，则以下选项中不正确的是（）.

证明拓扑空间X是紧致空间当且仅当它的加一点的紧致化Xⁿ中{∞|是开集.

（）一个重5400kg的摩托车在以速度v=30m/s行驶时突然熄火,设滑行方程为 x为滑行距离,计算要滑行多长距离后, 速度可降至15m/s

5、设T是从距离空间X到距离空间Y的连续映射，A是X中的列紧集，则以下选项中不正确的是（）.

5、设距离空间X是距离空间E的完备化空间，在等距同构的意义下，以下说法正确的是（）.