设A、B分别是数域K上nXm、mXn矩阵。证明:如果Im-AB可逆,那么Im-BA也可逆:并且求（Im-BA)^-1。

设A是一个mXn矩阵，证明:矩阵A的行空间维数等于它的列空间维数。

设k是数域，令σ：k[x]→kpol，f（x）→f，则σ是k[x]到kpol的什么？（）

设k是数域,令σ:k[x]→kpol,f(x)→f,则σ是k[x]到kpol的什么?

特征值、特征向量:设A是数域P上线性空间V的一个线性变换, 如果对于数域P中的一个数0存在一个非零向量

“设k是数域，令σ：k[x]→kpol

设k是数域，令σ：k[x]→kpol,f（x）→f,则σ是k[x]到kpol的什么？

设A是数域K上的n级矩阵,证明:如果λ₀是A的l重特征值,那么λ₀²是A²的I重特征值。

设mxn矩阵A的秩为r.证明:存在列满秩矩阵P和行满秩矩阵Q,使A=PQ.

证明:数域K上可逆的上三角矩阵的逆矩阵仍是上三角矩阵。

设B₁,B₂都是数域K上sXr列满秩矩阵,证明:存在数域K上s级可逆矩阵P，使得B₂=PB₁

设f（x)，g（x)是数域P上两个不全为零的多项式。令证明：存在m（x)∈S，使

设V是数域K上的一个线性空间,f₁,…,f_s是V的s个非零线性函数，证明:存在向量a∈V,使f_i（α)≠0,i=1,…,s

设A是数域K上的n级矩阵,P是K上n级可逆矩阵。令B=P^-1AP-PAP^-1。证明:B的特征多项式的复根之和等于0。

设矩阵A为mXn矩阵，B为n阶矩阵.已知r（A) =n,试证:（1)若AB=O,则B=0.（2)若AB = A,则B=I.

设A,B分别为sxn与nxm矩阵，证明:

令S是数域F上一切满足条件A^T=A的n阶矩阵A所成的向量空间，求S的维数。

设A、B分别是k×l和m×n矩阵，如果ACTB有意义，则矩阵C的型式为（)

设矩阵A=（a_ij)_mxn,B=（b_ij)_nxm.证明:AB=O的充分必要条件是矩阵B的每一列向量都是齐次方程组Ax=0的解.

设f₁（x), f₂（x); g₁（x), g₂（x)都是数域K上的多项式，共中f₁（x)≠0证明:如果g₁（x)g₂（x) | f₁（x)f₂（x), f₁（x)|g<sub>1

设A是数域K上的n级矩阵。证明:如果|A|≠0,那么A的列向量组a₁,a₂,...,a_n是Kⁿ（由列向量组成)的一个基:A的行向量组γ₁,γ₂,...,γ_n是Kⁿ（由行向量组成)的一个基。

设A是一个mxn矩阵，秩A=r，从A中任意划去m-s行与n-t列，其余元素按原来位置排成一个sxt矩阵C。证明：秩C≥r+s+t-m-n。

设A是实数域上的n级矩阵,证明:如果A可逆,那么A可以惟一地分解成正交矩阵T与主对角元都为正数的上三角矩阵B的乘积:A=TB。

设A是数域K上的n级矩阵,证明:对任意正整数k,有rank（A^n+k)=rank（Aⁿ)

设A是实数域上mXn列满秩矩阵,m＞n,A的列空间记作U.记P_A=A（A'A)^-1A'。,令证明