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设A是一个mXn矩阵,证明:矩阵A的行空间维数等于它的列空间维数。
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设⊕是R上的一个运算,A是R的非空子集,若对任意a,b∈A,有a⊕b∈A,则称A对运算⊕封闭.下列数集对加法,减法,乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是().
A . 自然数集
B . 整数集
C . 有理数集
D . 无理数集
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(2005)设A=
https://assets.asklib.com/psource/2015110316130320231.png
,其中ai≠0,bi≠0(i=1,2…,n),则矩阵A的秩等于:()
A . n
B . 0
C . 1
D . 2
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设 A 为 m × n 矩阵 , C 是 n 阶可逆矩阵 , 矩阵 A 的秩为 r 1 , 矩阵 B = AC 的秩为 r, 则
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设矩阵Am×n的秩r(A)=m<Em,Em为m阶单位矩阵,下述结论中正确的是A.A的任意m个列向量必线性无关.B.A
设矩阵Am×n的秩r(A)=m<Em,Em为m阶单位矩阵,下述结论中正确的是
A.A的任意m个列向量必线性无关.
B.A的任意一个m阶子式不等于零.
C.A通过初等行变换,必可以化为(Em,0)形式.
D.非齐次线性方程组Ax=b一定有无穷多组解.
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设A是实数域上的一个mXn矩阵,m>n,β∈R<sup>m</sup>,如果X<sub>0</sub>∈R<sup>n</sup>使得那么称X<sub>0</sub>是线性方程
设A是实数域上的一个mXn矩阵,m>n,β∈R<sup>m</sup>,如果X<sub>0</sub>∈R<sup>n</sup>使得<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-03/96529974160306.png' />那么称X<sub>0</sub>是线性方程组AX=β最小二乘解。证明:X<sub>0</sub>是AX=β的最小二乘解当且仅当X<sub>0</sub>是线性方程组
A'AX=A'β的解
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设mxn矩阵A的秩为r.证明:存在列满秩矩阵P和行满秩矩阵Q,使A=PQ.
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设A是一个m×n矩阵,m<n,r(A)=m,齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系为 其中
设A是一个m×n矩阵,m<n,r(A)=m,齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系为<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-16/974393715818909.png' />其中
<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-16/974393725868484.png' />
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证明:对任意mXn矩阵A, ATA及AAT都是对称矩阵。
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设mXn矩阵A的秩等于n,则必有().
A.m=n
B.m
C.m>n
D.m≥n
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设 ,对于任意x,y,z∈A。如果(x,y)∈R且(y.z)∈R,那么(z,x)∈R,则称R为A上的循环关系。(1)试举出一个
设<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-07-29/964881299050947.png' />,对于任意x,y,z∈A。如果(x,y)∈R且(y.z)∈R,那么(z,x)∈R,则称R为A上的循环关系。
(1)试举出一个循环关系的例子。
(2)证明:若R是自反的和循环的。则R具有对称性和传递性。
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已知A为mxn矩阵,且r(A)=r,则A中必成立()A.没有等于零的r-1阶子式,至少有一个r阶子式不为零
B.有等于零的r阶子式,没有不等于零的r+1阶子式
C.有不等于零的r阶子式,所有r+1阶子式全为零
D.任何r阶子式不等于零,任何r+1阶子式都等于零
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证明下面的线性规划问题要么无解,要么最优目标函数值为零,其中c∈R<sup>n</sup>,b∈R<sup>m</sup>,A为mxn矩阵。
<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-29/980789425496777.jpg' />
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设A是一个m行的矩阵,秩A=r,从A中任取出s行,作一个s行的矩阵B,证明:秩B≥r+s-m。
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设3阶矩阵若A的伴随矩阵的秩等于1,则必有().A.a=b或a+2b=0B.a=b或a+2b≠0C.a≠b且a+2b=0D.a≠b且a+2
设3阶矩阵<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/uploadfile/2295001-2298000/4fc3fa773ba3ff1b4a790c7f86a536e7.jpg' />若A的伴随矩阵的秩等于1,则必有().
A.a=b或a+2b=0
B.a=b或a+2b≠0
C.a≠b且a+2b=0
D.a≠b且a+2b≠0
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设A、B分别是数域K上nXm、mXn矩阵。证明:如果Im-AB可逆,那么Im-BA也可逆:并且求(Im-BA)<sup>-1</sup>。
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设矩阵A为mXn矩阵,B为n阶矩阵.已知r(A) =n,试证:(1)若AB=O,则B=0.(2)若AB = A,则B=I.
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设A为m×,l矩阵,秩为r,C为n阶可逆矩阵,矩阵B=AC,秩(B)=r1,则
设A为m×,l矩阵,秩为r,C为n阶可逆矩阵,矩阵B=AC,秩(B)=r1,则
A. r>r1
B. r<r1
C. r=r1
D. r与r1的关系依C而定
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设R是实数集,则对任意的a,b∈R,代数运算a·b=a+b²()。
A.A.适合结合律但不适合交换律
B.B.适合交换律但不适合结合律
C.C.不适合结合律和交换律
D.D.适合结合律和交换律
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设矩阵A=(a<sub>ij</sub>)<sub>mxn</sub>,B=(b<sub>ij</sub>)<sub>nxm</sub>.证明:AB=O的充分必要条件是矩阵B的每一列向量都是齐次方程组Ax=0的解.
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4、设矩阵A和B相抵,且A有一个k阶子式不等于0,则r(B)____k。
A.>
B.=
C.≥
D.≤
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设A是m×n矩阵,B是m×s矩阵,若矩阵方程AX=B有解,证明:r(A)≥r(B)。
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设A是m×n矩阵,r(A)=r<n是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,而对应导出组Ax=0的一个基础解系为ξ<sub>
设A是m×n矩阵,r(A)=r<n是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,而对应导出组Ax=0的一个基础解系为ξ<sub>1</sub>,ξ<sub>2</sub>,…,ξ<sub>n-r</sub>。证明:η<sub>0</sub>,η<sub>0</sub>+ξ<sub>1</sub>,η<sub>0</sub>+ξ<sub>2</sub>,…,η<sub>0</sub>+ξ<sub>n-r</sub>是方程组Ax=b的n-r+1个线性无关的解。
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设A是实数域上mXn列满秩矩阵,m>n,A的列空间记作U.记P<sub>A</sub>=A(A'A)<sup>-1</sup>A'。,令证明
设A是实数域上mXn列满秩矩阵,m>n,A的列空间记作U.记P<sub>A</sub>=A(A'A)<sup>-1</sup>A'。,令
<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-03/965299846450057.png' />
证明:P<sub>A</sub>是R<sup>m</sup>在U上的正交投影。