证明:双曲线xry=a²上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a².

设f（x)在[a,b]上连续，在（a,b)内有二阶连续导数，1、写出f（x)在（a+b)/2处的一阶泰勒公式；2、证明至少存在一点ζ∈（a,b)，使得：f（b)-2f（a+b/2)+f（a)=（b-a)²f"（ζ)

设证明:R（A)=1,且存在常数k≠0,使A²=kA.

设方阵A满足A²-3A+2E=0，证明A的特征值只能取1或2。

设方阵A满足A³-2A²+3A-E=O。证明：A-2E可逆，并求它的逆矩阵。

证明:（1)（a×b)²+（a·b)2=a²b²;（2)（a+b)·[（b+c)×（c+a)]=2a·（b×c).

设n阶方阵A满足A²+4A+4E=0，证明: A的特征值仅为-2.

证明对合矩阵A（A²=I)的特征值只能是1或-1

设A∈Mn（K)且A²=A，令 证明:.

设A、B均为n阶方阵，且A=（B+E)/2，证明：A²=A当且仅当B²=E。

设A是n阶（n≥2)可逆矩阵,Aⁿ是A的伴随矩阵，证明:

设有n阶矩阵A与B,证明（A+B)（A-B)=A²-B²的充要条件是AB=BA.

两条曲线的交角,是指它们在交点处的曲线的交角.证明;曲线r=（ae'cost,ae'sint,ae')与圆锥面x²+y²=z²的各母线相交的角度相同.

求平面曲线x²^/3+y²^/3=a²^/3（a＞0)上任何一点处的切线方程,并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长.

改T为Hilbert空间X上正常算子,T=A+iB为T的笛卡尔分解,证明:（1)||T||²=||A²+B²||;（2)||T²||=||T||².

设ƒ（χ)在[a,b]上连续,在（a,b)内可导,证明至少存在一点ξ∈（a,b),使2ξ[ƒ（a)-ƒ（b)]=（a²-b²)ƒ'（ξ).

下列矢量场A是否为保守场？若是，计算曲线积分（1)A=（6xy+z³)i+（3x²-z)j+（3xz²

设R是自然数集N上的关系且满足xRy当且仅当x+2y=10,其中,+为普通加法,计算以下各题.（1)domR.（2)ranR.（3)R^-1.

（1)a,b不全为零且互素,说出gcd（a²+b²,a+b),并说明理由.（2)证明:如果k是正整数,那么3k+2和5k+3互素.

已知n阶方阵A、B可交换，即AB-BA，证明（1)（A+B)²=A²+2AB+B²;（2)（A+B)（A-B)=A²-B²;（3)（AB)-A²B²（A为正整数)。

设A是实对称矩阵，且A²=O，证明A=O。

若环R适合:a∈R,a²=a,证明:（1)a∈R,a+a=0 （2)R是交换环

设A，B均为n阶方阵，且满足A²=A，B²=B，（A+B)²=A+B。证明AB=O。

设矩阵A满足A²=A，证明A可相似于对角阵。

若曲线y=x²+ax+6和y=x³+x在点（1,2)处相切（其中,a,b是常数),则a,b之值为（).