证明：如果f₁（x)，f₂（x)，...，f_s-1（x)的最大公因式存在，那么f₁（x)，f₂（x)，...

若函数f（x)在[a,b]内具有二阶导数,且f（x₁)=f（x₂)=f（x₃),其中a＜x₁＜x₂＜x₃＜b.证明:在（x_¿762¿,x₃)内至少有一点ξ,使得f"（ξ)=0.

证明：如果（x²+x+1)|f₁（x³)+xf₂（x³)，那么（x-1)|f₁（x)，f（x-1)|f₂（x)。

证明：的充要条件是|f（x)-A|=o（1)（x→x₀).

给定函数f（x),对任意x，f'（x)存在，且0＜m≤f（x)≤M，证明对0＜λ＜2/M的任意常数λ，迭代过程X_k+1=X_k-λf（x_k)均收敛于f（x_k)=0的根。

设函数f（x)在[0，1]上连续，且f（0)= f（1)，证明一定存在x∈（0,)使得f（x₀)= f（x₀+).

证明:若函数f（x)在[a,b]是阶梯函数,即存在[a,b]的一个分法T,而f（x)在每个小开区间（x_i-1,x_i)都是常数（i=1,2,...n),则f（x)在[a,b]可积.

设f（x)∈C[a，b]，且f"（x)＞0，取x_i∈[a，b]（1≤i≤n)，设k_i＞0（1≤i≤n)且。证明：

设m₁（x),…,ms（x)为一组两两互素的多项式，证明:对任何的多项式f₁（x),…,fs（x),都存在多项式F（x);使F（x)=f_i（x) （mod mi（x))，i=1,…,s

证明:（1)若且f在I上有界,则{f_n}至多除有限项外,在I上是一致有界的;（2)若f_n（x)→f（x)（n→

如果曲线y=f（x)上的任一条弦都高于它所限的弧，证明不等式对于所有的x₁,x₂（x₁≠x<sub>

证明:若函数f（x,y)在R（a₁≤x≤b₁,a₂≤y≤b₂)连续,

证明：如果z₀是f（z)的m（m＞1)级零点，则z₀是f’（z)的m-1级零点。

设f₁（x)...,f_m（x),g₁（x),...,g_n（x)都是多项式，且（f_i（x)g_j（x))=1（i=1,...,m;j=1,…,n),证明:（f₁（x)f₂（x)…fm（x),g₁（x)g<s

证明:函数f（x)在区间I单调,且x₁＜x₂＜x₃,有[f（x₃)-f（x₂)][f（x₂)-f（x<sub>1

证明:若两曲面F₁（x,y,z)=0,F₂（x,y,z)=0在点P（x₀,y₀,z₀)正交（两曲面在点P

设f₁（x), f₂（x); g₁（x), g₂（x)都是数域K上的多项式，共中f₁（x)≠0证明:如果g₁（x)g₂（x) | f₁（x)f₂（x), f₁（x)|g<sub>1

有人说“若f'（x0)＞0,则在x₀处存在某邻域,在此邻域内f（x)单调增”，这种说法正确吗？如果正确,请给出证明;如果不正确,请举例说明并给出正确结论。

设X是线序集合，如果x₁≤x₂蕴含着f（x₁)≤f（x₂)，称函数f:X→X是单调增加的，如果x≇

设f（x)=d（x)f₁（x)，g（x)=d（x)g₁（x)证明：若（f（x)，g（x))=d（x)且f（x)和g（x)不全为零，则（f₁（x)，g₁（x))=1;反之，若（f₁（x)，g₁（x))=1，则d（x)是f（x)与g（x)的一个最大公因式。

证明:如果函数f（x)当x→x₀时的极限存在,则函数f（x)在x₀的某个去心邻城内有界.

设实二次型，证明：f（x₁，x₂，...，x_n)的秩等于矩阵。的秩。

设f（x)，g₁（x)，g₂（x)∈C[x]，证明：R（f，g₁g₂)=R（f，g₁)R（f，g₂)。

如果三重积分的被积函数f（x,y,z)是三个函数f₁（x),f₂（y),f₃（z)的乘积,即f（x,y,z)=f

设周期函数f（x)的周期为2π.证明:（1)如果f（x-π)=-f（x),则f（x)的傅里叶系数a₀=0,a_2k=0,b