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设A是一个mXn矩阵,证明:矩阵A的行空间维数等于它的列空间维数。
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设马氏链状态空间是{1,2,3},其一步转移矩阵是[1/3,2/3,0;1/3,0,2/3;0,1/3,2/3],则下列说法正确的是()。
A.此链不具有遍历性
B.状态1的平均返回时间是7
C.状态2的平均返回时间是3
D.状态3的平均返回时间是4/7
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定义使得对于任何,证明:(1)P<sub>1</sub>,P<sub>2</sub>都是R<sup>2</sup>的度量.(2)度量空间 (p的定义见例 2.1.2)
定义<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-11/965993861879538.png' />使得对于任何<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-11/965993879830565.png' />,
<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-11/965993901400798.png' />
证明:
(1)P<sub>1</sub>,P<sub>2</sub>都是R<sup>2</sup>的度量.
(2)度量空间 (p的定义见例 2.1.2)有着完全相同的开集(意即一集合对于某一度量而言是开集,则对于另一度量而育也是开集).
(3)设f:R<sup>2</sup>→R为一映射,若f对于R<sup>2</sup>的度量ρ,P<sub>1</sub>,P<sub>2</sub>之一而言为连续映射,则f对于R<sup>2</sup>的度量ρ,P<sub>1</sub>,P<sub>2</sub>之另一而言也是连续映射.
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证明:如果是n维欧氏空间的一个正交变换,那么的不变子空间的正交补也是的不变子空间。
证明:如果<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-07/978882368870335.jpg' />是n维欧氏空间的一个正交变换,那么<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-07/978882387948427.jpg' />的不变子空间的正交补也是<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-07/978882398808048.jpg' />的不变子空间。
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设α<sub>1</sub>,α<sub>2</sub>,···,α<sub>n</sub>,β都是一个欧氏空间的向量,且β是α<sub>1</sub>,α<sub>2</sub>,···,α<sub>n</sub>的线性组合。证明如果β与每一个α<sub>i</sub>正交,i=1,2,...,n,那么β=0。
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证明:度量空间中的一个Cauchy序列如果有一个收敛的子序列,则这个Cauchy序列收敛.
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证明对合矩阵A(A<sup>2</sup>=I)的特征值只能是1或-1
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证明欧氏平面R<sup>2</sup>中所有第二个坐标为有理数的点构成的集合A与所有第一个坐标为0的点构成的集合B的并集AUB是连通子集;但A不是连通子集.
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试将定理5.2.1中的实数空间R改为任何一个度量空间,然后证明相应的结论.命题:设D为拓扑空间x的稠密子集,(Y,p)为度量空间f.g:X→Y为连续映射,如果f|D =g|D,则f=g.
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在欧氏空间R<sup>n</sup>里,求向量α=(1,1,...,1)与每一向量的夹角。
在欧氏空间R<sup>n</sup>里,求向量α=(1,1,...,1)与每一向量<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-12/97929518762586.jpg' />的夹角。
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设A是一个n阶上三角形矩阵,主对角线元素an≠0(i=1, 2,... n),证明A可逆,且A^-1也是上三角形矩阵。
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在欧氏空间R4中,设a=[1, 2, 3, 4]T,β=[-1, 1, -2, -6] T . 求
<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-12/966083582354457.png' />
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证明欧氏平面R<sup>2</sup>中所有至少有一个坐标是有理数的点构成的子集是R<sup>2</sup>的连通子集.
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设X和Y是两个同胚的拓扑空间.证明:如果X是可度量化的,则Y也是可度量化的.
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设B是元素全为1的n阶矩阵(n≥2),证明:
(1)<img src='https://img2.soutiyun.com/shangxueba/ask/51243001-51246000/51244816/974391435559486.png' />(k≥2为正整数);(2)<img src='https://img2.soutiyun.com/shangxueba/ask/51243001-51246000/51244816/974391445908077.png' />
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5-1 试证明任意平行六面体空间等参单元的雅可比矩阵是常数矩阵。
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(1)A,B是n阶方阵,且A是实时称矩阵.证明A相似于B的充分必要条件是A,B相似于同一个对角矩阵A;(2
(1)A,B是n阶方阵,且A是实时称矩阵.证明A相似于B的充分必要条件是A,B相似于同一个对角矩阵A;
(2)设<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-03-05/983805400639972.png' />问A,B是否相似.说明理由.
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设矩阵 证明(1) 的充分必要条件是:(2)当时,A是不可逆矩阵
设矩阵<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-16/976985818130937.png' />证明
(1)<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-16/976985833829835.png' />的充分必要条件是<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-16/976985850216772.png' />:
(2)当<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-16/976985874079137.png' />时,A是不可逆矩阵
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设α<sub>1</sub>,α<sub>2</sub>,···,α<sub>m</sub>和β<sub>1</sub>,β<sub>2</sub>,···,β<sub>m</sub>是n维欧氏空间V中两个向量组,证明存在一正交变换<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-07/978883779274006.jpg' />使<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-07/978883793368812.jpg' />的充分必要条件为<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-07/978883812679917.jpg' />
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1)设α,β是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量,证明:存在一镜面反射使2)证明:n维欧氏空间V中任一
1)设α,β是n维欧氏空间V中两个不同的单位向量,证明:存在一镜面反射<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-07/978884125973836.jpg' />使<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-07/978884136459436.jpg' />
2)证明:n维欧氏空间V中任一正交变换都可以表成一系列镜面反射的乘积。
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设σ是欧氏空间V到自身的一个映射,对证明:σ是V的一个线性变换,因而是一个正交变换。
设σ是欧氏空间V到自身的一个映射,对<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-12/979297726432071.jpg' />证明:σ是V的一个线性变换,因而是一个正交变换。
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设ε<sub>1</sub>,ε<sub>2</sub>,ε<sub>3</sub>,ε<sub>4</sub>,ε<sub>5</sub>是五维欧氏空间V的一组标准正交基,V<sub>1</sub>=L(α<sub>1</sub>,α<sub>2
设ε<sub>1</sub>,ε<sub>2</sub>,ε<sub>3</sub>,ε<sub>4</sub>,ε<sub>5</sub>是五维欧氏空间V的一组标准正交基,V<sub>1</sub>=L(α<sub>1</sub>,α<sub>2</sub>,α<sub>3</sub>),其中<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-07/978881322077462.jpg' /><img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-07/978881330331934.jpg' />,求V<sub>1</sub>的一组标准正交基。
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设A为度量空间(X,p)的子集,证明:(1)x∈i(A)当且仅当p(x,一A) >0.(2)x∈b(A)当且仅当p(x,A) = 0并且p(x,-A) = 0.
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设A是实数域上mXn列满秩矩阵,m>n,A的列空间记作U.记P<sub>A</sub>=A(A'A)<sup>-1</sup>A'。,令证明
设A是实数域上mXn列满秩矩阵,m>n,A的列空间记作U.记P<sub>A</sub>=A(A'A)<sup>-1</sup>A'。,令
<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-03/965299846450057.png' />
证明:P<sub>A</sub>是R<sup>m</sup>在U上的正交投影。